Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Системы с ожиданием при неограниченном входящем потоке

На n одинаковых каналов поступает простейший поток заявок интенсивностью λ . Если в момент поступления заявки все каналы заняты, то эта заявка становится в очередь и ждет начала облуживания. Время обслуживания каждой заявки является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ .

Расчетные формулы
Вероятность того, что все каналы свободны

Вероятность того, что занято k каналов, при условии, что общее число заявок, находящихся на обслуживании, не превосходит числа каналов,

Вероятность того, что в системе находится k заявок, в случае, когда их число больше числа каналов,

Вероятность того, что все каналы заняты,

Среднее время ожидания заявкой начала обслуживания в системе

Средняя длина очереди

Среднее число свободных от обслуживания каналов

Пример
Автозаправочная станция с двумя колонками обслуживает пуассоновский поток машин с интенсивностью λ=0,8 машин в минуту. Время обслуживания одной машины подчиняется показательному закону со средним значением 2 минуты. В данном районе нет другой АЗС, так что очередь перед АЗС может расти практически неограниченно. Найдите:
1) среднее число занятых колонок;
2) вероятность отсутствия очереди у АЗС;
3) вероятность того, что придется ждать начала обслуживания;
4) среднее число машин в очереди;
5) среднее время ожидания в очереди;
6) среднее время пребывания машины на АЗС;
7) среднее число машин на АЗС.
Решение . По условию задачи n=2, λ=0.8; μ=1/t обсл =0.5; ρ=λ/μ=1.6
Поскольку ρ /n =0,8<1, то очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы системы массового обслуживания.
Находим вероятности состояний СМО:

Среднее число занятых колонок:
N зан =n-N 0 = 2-(2·p 0 +1·p 1) = 2-2·0.1111 - 0.1778 = 1.6
Вероятность отсутствия очереди у АЗС:

Вероятность того, что придется ждать начала обслуживания равна вероятности того, что все колонки заняты:
p 0 +p 1 +p 2 = 0.1111+0.1778+0.1422 = 0.4311
Среднее число машин в очереди:

Среднее время ожидания в очереди:
Среднее время пребывания машины на АЗС:
t преб =t обсл +t ож = 2+3.5556 = 5.5556 мин.
Среднее число машин на АЗС:
N зан +L оч = 1.6+2.8444 = 4.4444
Рассмотрим одноканальную СМО с ожиданиями, в которой число каналов равно единице n = 1, интенсивность поступления заявок – λ, интенсивность обслуживания равна μ. Заявка, поступившая в тот момент времени, когда канал занят, становится в очередь и ждет обслуживания. Количество мест в очереди ограничено и равно m . Если все места в очереди заняты, то заявка покидает очередь не обслуженной. Проанализируем состояние системы:

• S 0 – канал свободен;
• S 1 – канал занят;
• S 2 – канал занят, одна заявка в очереди;
• S k – канал занят, (k–1) заявок в очереди;
• S m + 1 – канал занят, в очереди m заявок.

Изобразим граф состояний такой СМО (рис. 25).

Рис. 25
По формулам Эрланга найдем вероятности событий, состоящих в том, что СМО находится в состоянии S 1 , S 2 , …, S m+1:
(28)

При этом вероятность того, что заявка, прибывшая в систему, найдет ее свободной, равна
. (29)
Отношение интенсивности поступления заявок λ к интенсивности обслуживания заявок μ есть приведенная интенсивность μ, т.е.

ρ=λ/μ
Произведем замену в формулах (28) и (29) отношения λ/&mu на ρ, тогда выражения примут вид:

(30)
Вероятность Р 0 будет вычисляться по следующей формуле:
p 0 = -1 . (31)
Выражение для вероятности P 0 есть геометрическая прогрессия, сумма которой будет равна

.
Таким образом, формулы (30) и (31) позволяют определить вероятность любого события, которое может произойти в системе, т. е. определить вероятность нахождения системы в любом состоянии.
Формула для P 0 справедлива для случая, когда ρ ≠ 1 . В случае, когда ρ = 1 , т. е. интенсивность поступления заявок равна интенсивности их обслуживания, используется другая формула для вычисления вероятности того, что система свободна:

,
где m – это количество заявок, находящихся в очереди.

Определим характеристики эффективности одноканальной СМО :

• вероятность того, что очередная заявка, прибывшая в систему, получит отказ Р отк;
• абсолютную пропускную способность А ,
• относительную пропускную способность Q ,
• число занятых каналов k ,
• среднее число заявок в очереди r ,
• среднее число заявок, связанных с СМО, z .

Очередная заявка, поступившая в систему, получает отказ в том случае, когда занят канал, т. е. идет обслуживание другой заявки, и все m мест в очереди также заняты. тогда вероятность этого события можно вычислить по следующей формуле:

. (32)
Вероятность того, что заявка придет в систему и либо немедленно будет обслужена, либо будут места в очереди, т. е. относительную пропускную способность, можно найти по формуле

. (33)
Среднее число заявок, которые могут быть обслужены в единицу времени, т. е. абсолютную пропускную способность, рассчитывают следующим образом:

A=Q·λ (34)
Таким образом, по формулам (32), (33), (34) можно вычислить основные показатели эффективности для любой системы массового обслуживания. теперь выведем выражения для вычисления характеристик, присущих лишь данной СМО.
Среднее число заявок в очереди r определим как математическое ожидание дискретной случайной величины, где R – число заявок в очереди.
♦ Р 2 – это вероятность того, что в очереди на обслуживание находится одна заявка;
♦ Р 3 – вероятность того, что в очереди две заявки;
♦ Р k – вероятность того, что в очереди (k–1) заявка;
♦ Р m + 1 – вероятность того что в очереди m заявок.
Тогда среднее число заявок в очереди можно вычислить следующим образом:
r =1·P 2 +2·P 3 + ... +(k-1)·P k + ... +m·P m+1 . (35)
Подставим в формулу (35) найденные ранее значения вероятностей, вычисленные в формуле (30):
r =1·ρ 2 ·p 0 +2·ρ 3 ·p 0 + ... +(k-1)·ρ k ·p 0 + ... +m·ρ m+1 ·p 0 . (35)
Вынесем за скобку вероятность P 0 и Р 2 , тогда получим итоговую формулу для вычисления среднего числа заявок в очереди на обслуживание:
r =ρ 2 ·p 0 (1+2·ρ+ ... +(k-1)·ρ k-2 + ... +m·ρ m-1)
Выведем формулу для среднего числа заявок, связанных с СМО, z , т. е. число заявок в очереди, находящихся на обслуживании. Рассмотрим общее число заявок, связанных с СМО, z как сумму двух величин среднего числа заявок в очереди r и числа занятых каналов k :

z = r +k .
Так как канал один, то число занятых каналов k может принимать значения 0 или 1. Вероятность того, что k = 0, т.е. система свободна, соответствует вероятности Р 0 , значение которой можно найти по формуле (31). Если k = 1, т.е. канал занят обслуживанием заявки, но места в очереди еще есть, то вероятность этого события можно вычислить по формуле

.
Следовательно, z будет равно:

. (37)

Одноканальная СМО с ожиданием

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью l. Интенсивность потока обслуживания равна m (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать m. обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживании является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.
Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на Рис. 3.2.


Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)
Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
S 0 - канал свободен
S 1 - канал занят (очереди нет);
S 2 - канал занят (одна заявка стоит в очереди);
………………………………
S n - канал занят (n - 1 заявок стоит в очереди);
……………………………
S N - канал занят (N - 1 заявок стоит в очереди).
Стационарный провес в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений :

п - номер состояния.
Решение приведенной выше системы уравнений (3.10) для нашей модели СМО имеет вид

Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N - 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением
l/m = p
Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N - 1):

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
Пример 3.2. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3 [(N - 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность l = 0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение
1. Параметр потока обслуживании автомобилей:

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей l и m, т. е.

3. Вычислим финальные вероятности системы:

P 1 =ρ·P 0 = 0.893·0.248 = 0.221
P 2 =ρ 2 ·P 0 = 0.893 2 ·0.248 = 0.198
P 3 =ρ 3 ·P 0 = 0.893 3 ·0.248 = 0.177
P 4 =ρ 4 ·P 0 = 0.893 2 ·0.248 = 0.158
4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
P отк =P 4 =ρ 4 ·P 0 ≈ 0.158
5. Относительная пропускная способность поста диагностики:
q=1-P отк = 1-0.158 = 0.842
6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики
A=λ·q = 0.85·0.842 = 0.716 (автомобиля в час)
7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:
9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:
W q =W S -1/μ = 2.473-1/0.952 = 1.423 часа
10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди): L q = А,(1 - P N) W q = 0,85
L q =λ(1-P N)·W q = 0.85·(1-0.158)·1.423 = 1.02
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Р отк = 0,158). В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей - абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа P отк. , среднего числа занятых каналов (для многоканальной системы) будем рассматривать также следующие: L сист. - среднее число заявок системе; Т сист. - среднее время пребывания заявки в системе; L оч. - среднее число заявок в очереди (длина очереди); Т оч. - среднее время пребывания заявки в очереди; Р зан.. - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Одноканальная система с неограниченной очередью

На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой).
Рассмотрим задачу.
Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании - интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.
Система может находиться в одном из состояний S 0 , S 1 , S 2 , …, S k , по числу заявок, находящихся в СМО: S 0 - канал свободен; S 1 - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет, S 2 - канал занят, одна заявка стоит в очереди; ... S k - канал занят, (k-1) заявок стоят в очереди и т.д.
Граф состояний СМО представлен на рис. 8.

Рис. 8
Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна λ, а интенсивность потока обслуживании μ.
Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t→∞, очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ρ<1, т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если ρ≥1, очередь растет до бесконечности.

Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами (16), (17) для процесса гибели и размножении (здесь мы допускаем известную нестрогость, так как ранее эти формулы были получены для случая конечного числа состояний системы). Получим(32)
Так как предельные вероятности существуют лишь при ρ < 1, то геометрический ряд со знаменателем
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому
p 0 =1-ρ, (33)
и с учетом соотношений (17)
p 1 =ρ·p 0 ; p 2 =ρ 2 ·p 0 ; ... ; p k =ρ k ·p 0 ; ...
найдем предельные вероятности других состояний
p 1 =ρ·(1-ρ); p 2 =ρ 2 ·(1-ρ); ... ; p k =ρ k ·(1-ρ); ... (34)
Предельные вероятности p 0 , p 1 , p 2 , …, p k ,… образуют убывающую геометрическую профессию со знаменателем р < 1, следовательно, вероятность р 0 - наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.
Среднее число заявок в системе L сист. определим по формуле математического ожидания, которая с учетом (34) примет вид
(35)
(суммирование от 1 до ∞, так как нулевой член 0·p 0 =0).
Можно показать, что формула (35) преобразуется (при ρ < 1) к виду
(36)
Найдем среднее число заявок в очереди L оч. Очевидно, что
L оч =L сист -L об (37)
где L об. - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.
Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):
L оч =0·p 0 +1·(1-p 0)
т.е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:
L оч =P зан =1-p 0 , (38)
В силу (33)
L оч =P зан ρ, (39)
Теперь по формуле (37) с учетом (36) и (39)
(40)
Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.
(41)
(42)
Формулы (41) и (42) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность λ.
На основании формул (41) и (42) с учетом (36) и (40) среднее время пребывания заявки в системе определится по формуле:
(43)
а среднее время пребывания заявки в очереди
(44)

Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания

Стационарный режим функционирования данной СМО существует при t→∞ для любого п=0,1,2,… и когда l < m.Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t®¥ для любого n = 0, 1, 2...., имеет вид
Решение данной системы уравнений имеет вид
P n =(1-ρ)·ρ n , n=0,1,2,... (3.21)
где ρ=λ/μ < 1
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:
средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

Пример 3.3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в пример 3.2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченны» количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:

• вероятности состояний системы (поста диагностики);
• среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);
• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);
• среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;
• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Решение
1. Параметр потока обслуживания m и приведенная интенсивность потока автомобилей р определены в примере 3.2:
m = 0,952; p = 0,893.
2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам
P 0 =1-ρ = 1-0.893 = 0.107
P 1 =(1-ρ)·ρ = (1-0.893)·0.893 = 0.096
P 2 =(1-ρ)·ρ 2 = (1-0.893) 2 ·0.893 = 0.085
P 3 =(1-ρ)·ρ 3 = (1-0.893) 3 ·0.893 = 0.076
P 4 =(1-ρ)·ρ 4 = (1-0.893) 4 ·0.893 = 0.068
P 5 =(1-ρ)·ρ 5 = (1-0.893) 5 ·0.893 = 0.061
и т.д.
Следует отметить, что Р о определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10,7%, так как Р о = 0,107.
3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди-
7. Относительная пропускная способность системы:
т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.
8. Абсолютная пропускная способность: А = lq = 0,85·1 = 0,85
Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.
Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 3.2). Частота m возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:

т = l P N

В нашем примере при N = 3 + 1 = 4 и р = 0,893,
m = l Р о р 4 = 0,85·0,248·0,8934·0,134 автомобиля в час.
При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12·0,134 = 1,6 автомобиля.
Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) поста диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобилей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.

Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Рассмотрим задачу. Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании - интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.

Система может находиться в одном из состояний S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,…, S n ,…, - нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S 0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); S 1 - занят один канал, остальные свободны; S 2 - заняты два канала, остальные свободны;..., S k - занято k каналов, остальные свободны;..., S n - заняты все n каналов (очереди нет); S n+1 - заняты все n каналов, в очереди одна заявка;..., S n+r - заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди,....

Граф состояний системы показан на рис. 9. Обратим внимание на то, что в отличие от предыдущей СМО, интенсивность потока обслуживаний (переводящего систему из одного состояния в другое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины m до nm, так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО большем, чем n, интенсивность потока обслуживании сохраняется равной nm.

среднее число заявок в очереди
, (50)
среднее число заявок в системе
L сист =L оч +ρ, (51)
Среднее время пребывания заявки в очереди и среднее время пребывания заявки в системе, как и ранее, находятся по формулам Литтла (42) и (41).
Замечание. Для СМО с неограниченной очередью при r < 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа P отк = 0, относительная пропускная способность Q =1, а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А =l.

СМО с ограниченной очередью

СМО с ограниченной очередью. СМО с ограниченной очередью отличаются от рассмотренных выше задач лишь тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного т). Если новая заявка поступает в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО необслуженной, т.е. получает отказ.
Очевидно: для вычисления предельных вероятностей состояний и показателей эффективности таких СМО может быть использован тот же подход, что и выше, с той разницей, что суммировать надо не бесконечную прогрессию (как, например, мы делали при выводе формулы (33)), а конечную.
Среднее время пребывания заявки в очереди и в системе, как и ранее, определяем по формулам Литтла (44) и (43).
СМО с ограниченным временем ожидания. На практике часто встречаются СМО с так называемыми "нетерпеливыми" заявками. Такие заявки могут уйти из очереди, если время ожидания превышает некоторую величину. В частности, такого рода заявки возникают в различных технологических системах, в которых задержка с началом обслуживания может привести к потере качества продукции, в системах оперативного управления, когда срочные сообщения теряют ценность (или даже смысл), если они не поступают на обслуживание в течение определенного времени.

В простейших математических моделях таких систем предполагается, что заявка может находиться в очереди случайное время, распределенное по показательному закону с некоторым параметром υ, т.е. можно условно считать, что каждая заявка, стоящая в очереди на обслуживание, может покинуть систему с интенсивностью υ.
Соответствующие показатели эффективности СМО с ограниченным временем получаются на базе результатов, полученных для процесса гибели и размножения.

В заключение отметим, что на практике часто встречаются замкнутые системы обслуживания , у которых входящий поток заявок существенным образом зависит от состояния самой СМО. В качестве примера можно привести ситуацию, когда на ремонтную базу поступают с мест эксплуатации некоторые машины: понятно, что чем больше машин находится в состоянии ремонта, тем меньше их продолжает эксплуатироваться и тем меньше интенсивность потока вновь поступающих на ремонт машин. Для замкнутых СМО характерным является ограниченное число источников заявок, причем каждый источник "блокируется" на время обслуживания его заявки (т.е. он не выдает новых заявок). В подобных системах при конечном числе состояний СМО предельные вероятности будут существовать при любых значениях интенсивностей потоков заявок и обслуживании. Они могут быть вычислены, если вновь обратиться к процессу гибели и размножения.

Расчеты основных показателей функционирования системы, имеющей nканалов обслуживания, с ограничением мест в очереди, проводятся аналогично тем, которые были сделаны для системы с неограниченной очередью. Особенностью функционирования систем с ограничением длины очереди является конечное число состояний системы.

Пусть на каналы обслуживания поступает простейший поток требований интенсивностью λ. Поток обслуживания, поступающий с одного канала, также простейший и имеет интенсивность μ. Число мест в очереди ограничено и равно т.

По числу заявок, находящихся в системе, обозначим состояния системы:

S 0 - состояние простоя;

S п - состояние системы, когда все каналы заняты обслуживанием;

S п+1 - все каналы заняты, одна заявка находится в очереди;

S п+т - в очереди т заявок.

Так как потоки заявок и обслуживания ординарны, граф состояний изображается в виде схемы гибели и размножения. Отличие от подобной схемы для неограниченной очереди состоит только в том, что число состояний конечно. Граф состояний такой системы изображается в виде схемы на рисунке номер 7:

λ λ λ λ λ λ

……. …….

S 0 S 1 S 2 S n S n+m

μ 2μ 3μ ………. nμ nμ …… nμ

Рисунок 7: Многоканальная СМО с ограниченной очередью.

Составим систему алгебраических уравнений для нахождения финальных вероятностей состояний:

Откуда получим формулы Эрланга для многоканальной системы с ограниченной очередью:

Последние т слагаемых в скобках представляют собой сумму т первых членов геометрической прогрессии со знаменателем ρ/n которая равна:

Таким образом, для вычисления р 0 получим формулу:

Формулы для вероятностей предельных состояний будут иметь вид:

Приведем формулы для расчета основных показателей эффективности работы системы.

Число каналов, которые необходимо иметь, чтобы система справлялась с потоком заявок, определим из условия

В этом случае выполняется соотношение ρ < 1.

Вероятность отказа в обслуживании заявки определим как вероятность того, что при поступлении заявки в систему все nее каналов будут заняты, и в очереди заняты все mмест:

Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность системы) равны вероятности противоположного события:

Абсолютная пропускная способность - число заявок, обслуженных системой в единицу времени:

Так как каждый канал обслуживает μзаявок в единицу времени, то среднее число занятых каналов можно вычислить:

Среднее время обслуживания каналом одной заявки:

Среднее число заявок в очереди:

Среднее число заявок под обслуживанием равно среднему числу занятых каналов:

Среднее число заявок в системе (под обслуживанием и в очереди) равно:

Многоканальную СМО с ограниченной очередью можно рассмотреть в Mathcad.

Пример :

Площадка АЗС вмещает не более 3-х машин одновременно, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится. Интенсивность потока обслуживания λ=0,5 машин в минуту. Интенсивность потока обслуживания μ=0,4 машины в минуту. Определить все характеристики СМО.

Фрагмент решения задачи в Mathcad.

Продолжение задачи в Mathcad.

Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Она характеризуется следующими показателями :

Предельные вероятности:

, , . . . , , ,…, ,… (10)

Вероятность того, что заявка окажется в очереди:

(11)

(13)

Среднее время нахождения в очереди:

(15)

Среднее время нахождения заявки в очереди:

Рассмотрим пример решения задачи многоканальной СМО с ожиданием.

Задача . В магазине к кассам поступает поток покупателей с интенсивностью 81 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного покупателя tобсл = 2 мин. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания узла расчета.

По условию λ=81(чел./час)= 81/60=1,35 (чел./мин.). По формулам (1, 2):

= λ/μ= λ * tобсл = 1,35 * 2 = 2,7

<1, т.е. при n > = 2,7. Таким образом, минимальное количество кассиров n =3.

Найдем характеристики обслуживания СМО при n=3.

Вероятность того, что в кассах отсутствуют покупатели, по формуле (9):

= (1+2,7+2,7 /2!+2,7 /3!+2,7 /3!(3-2,7)) = 0,025

В среднем 2,5 % времени кассиры будут простаивать.

Вероятность того, что в кассах будет очередь, определим по формуле (11):

P = (2,7 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735

Среднее число покупателей, находящихся в очереди рассчитывается по формуле (13):

L = (2,7 /(3*3!(1-2,7/3) ))*0,025 = 7,35 (чел.)

T =7,35/1,35 = 5,44 (мин.)

Определим среднее число покупателей в кассах по формуле (15):

L =7,35+2,7=10,05 (чел.)

Среднее время нахождения покупателей в кассах находится по формуле (16):

T =10,05/1,35=7,44 (мин)

Среднее число кассиров, занятых обслуживанием покупателей, по формуле (12) =2,7.

Коэффициент (доля) занятых обслуживанием кассиров вычисляется по следующей формуле:

Абсолютная пропускная способность узла расчета A=1,35 (чел./мин), или 81 (чел./час), т.е. 81 покупатель в час. Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке касс при наличии трех кассиров.

Системы массового обслуживания с ограниченной очередью

Имеется n-канальная СМО с ограниченной очередью. Число заявок в очереди ограничено числом m. Если заявка поступает в момент, когда в очереди уже m заявок, она не обслуживается. Такая СМО характеризуется следующими показателями :

Предельные вероятности:

(17)

, , . . . , , ,…, (18)

Вероятность отказа:

(19)

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число занятых каналов:

Среднее число заявок в очереди:

(23)

Среднее число заявок в системе:

Пример оптимизации СМО

Показатели работы системы массового обслуживания могут использоваться для решения оптимизационных задач.

Задача.

Определить оптимальное количество причалов в порту с минимальными затратами, если известно, что за год было обслужено 270 судов. Разгрузка одного судна длится в среднем 12 часов. Пеня за простой судна в порту составляет 100 тыс.р./сут.. Затраты на причал 150 тыс.р./сут. Расчеты приведены в таблице.

Решение.

По условию

λ=270(судов/год)=270/360=0,75(судов/сут.),

tобсл=12ч=12/24=0,5 сут.

По формулам (1, 2):

= λ/μ= λ * tобсл = 0,75 * 0,5 = 1,5

Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии /n <1, т.е. при n > = 1,5. Таким образом, минимальное количество причалов n =2.

Найдем характеристики обслуживания СМО порта при количестве причалов n=2.

Вероятность того, что в порту отсутствуют суда, вычислим по формуле (9):

В среднем 1,4 % времени причалы будут простаивать.

Среднее число судов, находящихся в очереди рассчитывается по формуле (13):

Среднее время ожидания в очереди вычисляется по формуле (14):

T =1,93/0,75 = 2,57 (сут.)

Определим среднее число судов в порту по формуле (15):

L =1,93+1,5=3,43 (судна)

Среднее время нахождения судов в порту находится по формуле (16):

T =3,43 /0,75 =4,57 (сут)

Среднее число занятых причалов (12) =1,5.

Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке порта при наличии двух причалов.

Найдем суммарную пеню за простой судов в порту в сутки. Для этого перемножим пеню за простой судна в порту и среднее число судов в очереди:

= * L .

Определим затраты по обслуживанию причалов в сутки: = *n.

Для двух причалов в сутки

Суммарные затраты составят: С= + =193+300=493(ден.ед.)

Суммарные затраты по условию задачи должны быть минимальны.

Рассчитаем суммарные затраты для количества причалов n = 2, 3, 4. Расчеты приведены в таблице. Как видно из таблицы, минимальные затраты достигаются при n = 3. Следовательно, для минимизации затрат необходимо 3 причала.

Таблица 1.- Расчет оптимального числа причалов

Показатель	Количество причалов
Интенсивность потока судов	0,75	0,75	0,75
Интенсивность обслуживания судов	0,5	0,5	0,5
Интенсивность нагрузки причала	1,5	1,5	1,5
Вероятность, что все причалы свободны	0,14	0,21	0,22
Среднее число судов в очереди	1,93	0,24	0,04
Среднее время пребывания судна в очереди, сут.	2,57	0,32	0,06
Среднее число судов в порту	3,43	1,74	1,54
Среднее время пребывания судна в порту, сут	4,57	2,32	2,06
Пеня за простой судна в порту, ден.ед./сут. ()	100,00	100,00	100,00
Затраты по обслуживанию причала в сутки, ден.ед./сут. ()	150,00	150,00	150,00
Суммарная пеня за простой судов в порту в сутки, ден.ед. ()	192,86	23,68	4,48
Суммарные затраты по обслуживанию причалов в сутки, ден.ед. ()	300,00	450,00	600,00
Суммарные затраты, ден.ед.(С)	492,86	473,68	604,48

Варианты заданий

Таблица 2 - Варианты заданий

Номер варианта
Задача
Номер варианта
Задача

1. В парикмахерской в зависимости от сложности стрижки, мастер выполняет работу в среднем за 30 мин. Посетители приходят в среднем через 25 мин. За каждый час работы мастер зарабатывает 300 ден.ед.. Очередь ограничена до 4 человек. Если в очереди больше 4 человек, клиент уходит, и потери за час составляют 150 ден.ед. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить оптимальное количество мастеров.

2. Автомобили подъезжают на АЗС со средней частотой 2 автомобиля за 5 минут. Заправка автомобиля в среднем длится 3 минуты. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество колонок, чтобы средняя длина очереди не превышала 3 авт.

3. Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин. На осмотр и выявление дефектов каждой машины затрачивается в среднем 30 минут. На осмотр поступает в среднем 36 машин в сутки. Если машина, прибывшая в пункт осмотра, не застает ни одного канала свободным, она покидает пункт осмотра не обслуженной. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания профилактического пункта осмотра. Определить количество каналов, чтобы относительная пропускная способность была не меньше 0,8.

4. В срочной мастерской по починке обуви в зависимости от сложности ремонта мастеру требуется в среднем 15 мин. Посетители приходят в среднем через каждые 14 мин. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество мастеров, чтобы средняя длина очереди не превышала 5 заказов.

5. В справочной оператор дает справку в среднем за 4 мин. Звонки поступают каждые 3мин. Если операторы заняты, то звонок не обслуживается. Определить вероятности состояний и характеристики обслуживания справочной. Определить количество каналов, чтобы относительная пропускная способность была не меньше 0,75.

6. В зависимости от количества продуктов у покупателя кассиру в магазине требуется в среднем на один чек 2 мин. Покупатели подходят к кассе с интенсивностью 81 человек/час. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество кассиров, чтобы средняя длина очереди не превышала 4 покупателей.

7. Диспетчеру в АТП в зависимости от типа автомобиля требуется в среднем на выдачу одного маршрутного листа 20 минут. Заявки на автомобили поступают в среднем через каждые 30 минут. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество диспетчеров, чтобы средняя длина очереди не превышала 2 заявок.

8. Требуется оценить работу АТС. Если все линий связи заняты, то абонент выбывает из системы. Звонки поступают с интенсивностью 2 вызов/мин.. Продолжительность разговоров распределена экспоненциально, и в среднем равна 1,5 мин. Определить предельные вероятности и показатели эффективности системы. Определить количество операторов, чтобы относительная пропускная способность АТС была не меньше 0,9.

9. В банке в зависимости от сложности запроса клиента кассиру требуется в среднем 10 минут. Клиенты подходят к нему в среднем через каждые 12 минут. Кассир зарабатывает 15000 ден.ед. за месяц. Очередь ограничена до 6 человек. Если в очереди больше 6 человек, клиент уходит, и потери за час составляют 200 ден.ед. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить оптимальное количество кассиров.

10. В среднем на одну транзакцию у банкомата уходит 2 минуты. Клиенты подходят к нему в среднем через каждые 20 минут. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество банкоматов, чтобы средняя длина очереди не превышала 2 человек.

11. В магазине продавцу в зависимости от покупателя требуется в среднем на одну покупку 10 мин. Покупатели подходят к нему в среднем через каждые 5 мин. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество продавцов, чтобы средняя длина очереди не превышала 5 человек.

12. В отделе заказов мебельной фабрики менеджеру по продажам в зависимости от заказа клиента требуется в среднем на оформление одного заказа 25 минут. Клиенты приходят в среднем через каждые 30 минут. Определить предельные вероятности состояний и характеристики обслуживания. Определить количество менеджеров, чтобы средняя длина очереди не превышала 3 человек.

Порядок выполнения работы

1.Рассчитайте в системе Excel показатели системы массового обслуживания по формулам, приведенным в методичке. Количество каналов обслуживания n=1, 2, 3...k перебирается для нахождения оптимального значения по варианту. Предполагается, что входные потоки и обслуживание соответствуют пуассоновскому распределению.

2.Проведите анализ полученных результатов.

3.Составьте отчет.

1) Цель работы;

2) постановка задачи;

3) результаты расчетов, проведенных в Excel;

4) выводы по выполнению работы.

Контрольные вопросы

1. Что включает в себя понятие система массового обслуживания?

2. Какие существуют виды систем массового обслуживания?

3. Что относится к основным характеристикам и показателям эффективности систем массового обслуживания?

4. Укажите основные свойства (характеристики) входящего потока требований?

5. Перечислите основные особенности и характеристики систем массового обслуживания с ожиданием?

6. Каковы основные характеристики СМО с отказами?

7. Приведите примеры различных видов СМО?

Библиографический список

1. Афанасьев М.Ю. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения. / М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов.- М.:ИНФРА, 2003.-444с.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, приниципы, методология./ Е.С. Вентцель.-М.: Высшая школа, 2001.-208с.

3. Зайченко Ю.П. Исследование операций./ Ю.П. Зайченко.- К.: Вища школа, 1975.-320с.

4. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций. / П.В. Конюховский.- СПб.: Питер, 2001.-192с.

5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Исследование операций в экономике./ Н.Ш. Кремер, Б.А. Бутко, И.М. Тришин.- М.:Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.-407с.

1. Кудрявцев Е.М. GPSS World.Основы имитационного моделирования различных систем.- М.: ДМК Пресс, 2004.- 320 с.

2. Советов В.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. - М.: Высшая школа, 1985

3. Советов В.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: курсовое проектирование. - М.: Высшая школа, 1989

Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание поток имеет интенсивность λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчи­ненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Рассмотрим систему с ограниченной очередью . Предположим, что независимо оттого, сколько требований по­ступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N -требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N -1) ожидают, Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены об­служиваться в другом месте и такие заявки теряются.

Обозначим - вероятность того, что в системе находится n заявок. Эта величина вычисляется по формуле:

Здесь - приведенная интенсивность потока. Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна: .

С учетом этого можно обозначить

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):

вероятность отказа в обслуживании заявки:

относительная пропускная способность системы:

абсолютная пропускная способность:

А =q ∙λ;

среднее число находящихся в системе заявок:

среднее время пребывания заявки в системе:

;

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

W q =W s - 1/μ;

среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

L q =λ(1-P N )W q .

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

Пример 9.2 . В зону таможенного контроля в пункте пропуска автомобили въезжают по системе электронной очереди. Каждое окно оформления прибытия/убытия представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих оформления, ограниченно и равно 3, то есть (N -1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль в зону таможенного контроля не пропускается, т.е. в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на оформление имеет интенсивность λ =0,85 (автомобиля в час). Время оформления автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час. Требуется определить вероятностные характеристики окна оформления прибытия/убытия пункта пропуска, работающего в стационарном режиме.

Решение.

Интенсивность потока обслуживаний автомобилей:

.

Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей λ и μ, т.е.

.

Вычислим вероятности нахождения п заявок в системе:

;

P 1 =ρ∙P 0 =0,893∙0,248=0,221;

P 2 =ρ 2 ∙P 0 =0,893 2 ∙0,248=0,198;

P 3 =ρ 3 ∙P 0 =0,893 3 ∙0,248=0,177;

P 4 =ρ 4 ∙P 0 =0,893 4 ∙0,248=0,158.

Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

P отк =Р 4 = ρ 4 ∙P 0 ≈0,158.

Относительная пропускная способность окна оформления:

q =1–P отк =1-0,158=0,842.

Абсолютная пропускная способность окна оформления

А =λ∙q =0,85∙0,842=0,716 (автомобиля в час).

Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

.

Среднее время пребывания автомобиля в системе:

часа.

Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

W q =W s -1/μ=2,473-1/0,952=1,423 часа.

Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

L q =λ∙(1-P N)∙W q = 0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.

Работу рассмотренного окна оформления можно считать удовлетворительной, так как не обслуживается в среднем 15,8% случаев (Р отк =0,158).

На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем). Поэтому мы уделим одноканальной СМО с очередью особое внимание.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью X; поток обслуживаний имеет интенсивность, обратную среднему времени обслуживания заявки Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

Среднее число заявок в системе,

Среднее время пребывания заявки в системе,

Среднее число заявок в очереди,

Среднее время пребывания заявки в очереди,

Вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности: в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому по той же причина

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

Канал свободен,

Канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

Канал занят, одна заявка стоит в очереди,

Канал занят, заявок стоят в очереди,

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 20.2. Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью А переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживаний с интенсивностью

Прежде всего спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если строго меньше единицы то финальные вероятности существуют, а при очередь при растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так.

При СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы чуточку случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но позволим себе вольность - воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (19.8), (19.7). В нашем случае число слагаемых в формуле (19.8) будет бесконечным. Получим выражение для

Ряд в формуле (20.11) представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . При ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний существуют только при ). Теперь предположим, что это условие выполнено, и Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

(20.12)

Вероятности найдутся по формулам:

откуда, с учетом (20.12), найдем окончательно:

Как видно, вероятности образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Как это ни странно, максимальная из них - вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО . Тут придется немного повозиться. Случайная величина Z - число заявок в системе - имеет возможные значения с вероятностями

Ее математическое ожидание равно

(20.14)

(сумма берется не от 0 до а от 1 до так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (20.14) выражение для

Теперь вынесем за знак суммы :

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: есть не что иное, как производная пор от выражения значит,

Меняя местами операции дифференцирования и суммирования, получим:

Но сумма в формуле (20.15) есть не что иное, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем ; эта сумма равна а ее производная . Подставляя это выражение в (20.15), получим:

(20.16)

Ну, а теперь применим формулу Литтла (19.12) и наймем среднее время пребывания заявки в системе:

Найдем среднее число заявок в очереди Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус чйсло заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди равно среднему числу заявок в системе минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили ). Очевидно, равно единице минус вероятность того, что канал свободен;

Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием равно